关于导数

大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下关于导数的问题，以及和导数的冷知识的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

本文目录

1. 导数如何在初中数学中应用
2. 导数的题型及解题技巧
3. 导数的前置知识是什么
4. 学导数到底有什么用

导数如何在初中数学中应用

导数在解决函数单调数问题求函数极值和最值，不等式证明以及解决解析几何中与切线有关的问题和最值问题有着广泛的应用。其方法较传统的方法简洁、灵活，而导数与函数、不等式、解析几何、数列、向量等知识结合起来，也使命题的设计更加广阔了。

导数的题型及解题技巧

（一）利用导数研究函数的单调性和极值

函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向，若函数图象曲线向上，则为单调递增，反之则为单调递减。一个函数的单调性与其导数联系紧密，定理如下：在区间（a，b）内，若f’（x）>0，那么函数y=f（x）在该区间内单调递增;若若f’（x）<0，那么函数y=f（x）在该区间内单调递减。

例1：已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-l时取极值，且f（-2）=-4

（1）求函数y=f（x）的表达式

（2）求函数y=f（x）的单调区间和极值

（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c得f’（x）=3x2+2ax+b由题意得x=1和x=-1是f’（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2所以f（x）=x3-3x-2

（2）f（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）当x<-1时，f（x）>0当x=-1时，f（x）=0当-1<x<1时，f’（x）<0当x=1时，f’（x）=0当x>1时，f（x）>0

所以，f（x）在区间[-∞，-1]上为增函数;在[-1，1]上是减函数;在[1，+∞]上是增函数。函数f（x）的极大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=-4。

在例1中，第二个问题即求函数的单调区间以及极值，我们可以很容易从例子中看出，当函数的导数在某-区间内大于零时，函数在这个区间内单调递增;相应的，当函数的导数在某已区间内小于零时，函数在这个区间单调递减。因此，在解题过程中，当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候，可以利用求导的方式求出该函数的导数，通过导数判断其单调性和极值。

（二）利用导数求函数的最值

函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念。极小或极大值都是反映函数在某-.-点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值。但是在求函数的最大值和最小值的过程中，却需要借助极小值和极大值。

例2：求f（x）=y=x4--8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4-8x2+2得y’=4x3-16x=4x（x-2）（x+2）令y’=0，得x=0，x=2，x=-2

代人得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11由于x=-2不在区间[-1，3]中，因此不予考虑。所以f（x）在区间[-1，3]中的最小值为f（2）=-14，最大值为f（3）=11。一般情况下，求某一个函数在某区间内的最值，可先求出该函数在区间内的极值，再将求出的各极值与该函数在端点处的函数值比较，最大的则为函数的最大值，最小的则为函数的最小值。

（三）构造函数证明不等式

构造函数简单来说就是一一种解题方法，是基于具体数学题目，构造符合题目的函数模型，并通过该函数模型解决数学题目的方法。在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案，如应用于证明不等式中。

例3：已知函数f（x）=x₂/2-ax+（a-1）lnx，a>1.

证明：若a<5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x₁≠x₂，有f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1。

解：f（x）=x-a+（a-1）/x=（x₂-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/xg（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）lnx+x

g（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）*2;1<a<5

g（x）>0，即g（x）在（0，+∞）單调递增..当x₁>x₂>0时，g（x₁）-g（x₂）>0故f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1

当0<x1<x2时，[f（x₁）-f（x₂）]/（x₁-x₂）=[f（x2）-f（x₁）]/（x₂-x₁）>-1

例3中，如果只是按照常规思路进行解题，难度较大，但是通过构造函数g（x）解题，很大程度上降低了解题难度。

（四）导数与函数零点问题

函数零点个数的判断问题是导数与函数的热点问题，其实质仍是利用导数刻画函数图象与性质，这类问题的难点是含参问题中零点会随着参数而移动，确定零点所在的关于参数的区间需要认真分析。

（五）类型四：隐零点整体代换问题

设而不求是解析几何常用的方法，而在函数导数中，有时候因为关于极值点的方程是超越方程，求不出极值点，这时候需要设而不求，对参数进行整体代换。

（六）双变量同构式问题

在考题中常见到有两个变量的函数或不等式问题，如果原式子能够通过化简、变形成为两个变量不同、结构相同的式子，问题就可以通过构造函数来解决.

三、巧借导数分析，别样化解难题

（1）分析函数性质，简证不等式

导数可以有效解决不等式问题，尤其是证明不等式成立问题，可通过求导的方式来分析不等式，确切来讲是采用构造思想构造新的函数，利用导数来判断函数的单调性，求最值或判断函数符号，最后结合不等式恒成立原理来证明。

（2）妙求切线方程速解圆锥曲线

圆锥曲线因其计算过程复杂、技巧性强而成为高中数学的重难点知识，对于其中涉及曲线切线方程的问题可以采用导数知识来求解，通过求导的方式来求切线的斜率，从而建立切线方程，需要注意的是曲线方程在转化过程中因定义域所造成的差异。

（3）求导分析模型巧解实际问题

导数在解决与生活实际相关的数学问题中同样有着良好的解题效果，尤其是对于物料问题、距离最值问题等，可以利用导数来分析问题的数学模型，利用求导的方式来求解.一般思路为：从实际问题中抽象数学模型，利用导数求函数最值，结合实际取最优值。

导数的前置知识是什么

在学习导数之前，需要掌握以下前置知识：

1.函数：了解什么是函数及其基本概念，例如自变量、因变量、定义域、值域等。

2.极限：理解极限的概念和计算方法，以及无穷大与无穷小的性质。

3.代数运算：熟练掌握代数基本运算，包括加减乘除、指数与对数运算。

4.三角函数：熟悉常见三角函数的定义、图像和性质，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等。

5.指数函数和对数函数：了解指数函数和对数函数的定义、性质及其应用。

这些前置知识是学习导数必不可少的基础，掌握好这些知识可以更好地理解导数的概念、性质和应用。

学导数到底有什么用

1.求切线方程。

2.求函数的极大值，极小值。

3.计算机，计算器在计算sinx,e^x,lnx时，内部要用到泰勒公式。而泰勒公式用到导数知识。所以，如果你以后学的是计算机，就要学导数。

4.学了导数才能学积分，学了积分就能求曲边图形面积。综上所述，如果以后你学的是理工科，那就要学导数。

关于关于导数，导数的冷知识的介绍到此结束，希望对大家有所帮助。